논현지구 중1수학과외

논현지구 생활권에서 이어진 맞꼭지각 풀이 기록

논현지구과외 수업에서 학생은 인천논현중학교가 포함된 생활권의 문제지에 나온 각의 관계를 풀고 있었다. 간석금호어울림아파트와 논현11단지단풍마을이 있는 생활권에서 자주 접하는 도형 문제였지만, 이번 문제의 핵심은 그림의 모양이 아니라 두 직선이 교차할 때 마주 보는 각이 맞꼭지각인지 판단하는 것이었다.

한 줄의 표시에서 시작된 혼동

문제 그림에는 직선 AB와 직선 CD가 점 O에서 만났고, ∠AOC와 ∠BOD가 표시되어 있었다. 학생은 그림을 보자마자 두 각의 위치가 서로 마주 보고 있다는 점에 동그라미를 쳤다. 이어서 “∠AOC와 ∠BOD는 맞꼭지각이므로 크기가 같다”고 적었다.

그 판단 자체는 맞았지만, 다음 문제에서 오류가 드러났다. ∠AOC와 ∠AOD를 보고도 두 각이 모두 O를 꼭짓점으로 가지며 그림 위쪽에 붙어 있다는 이유로 맞꼭지각이라고 쓴 것이다. 학생은 두 각이 공유하는 변 OA를 확인하지 않은 채, 그림에서 보이는 방향만으로 관계를 정했다.

맞꼭지각은 꼭짓점이 같다는 조건만으로 정해지지 않는다. 두 각이 서로 마주 보고, 한 각의 두 변이 다른 각의 두 변과 각각 반대 방향의 반직선이어야 한다.

경계에 놓인 각을 다시 판별하다

학생이 적어 둔 두 답을 나란히 놓고, 각의 변을 하나씩 읽었다. ∠AOC의 변은 OA와 OC이고 ∠BOD의 변은 OB와 OD였다. OA와 OB는 서로 반대 방향의 반직선이며, OC와 OD도 서로 반대 방향이므로 두 각은 맞꼭지각이었다.

반면 ∠AOC와 ∠AOD는 OA를 함께 사용한다. 두 각의 나머지 변인 OC와 OD는 반대 방향이지만, 공통변을 그대로 가지고 있어 서로 이웃한 각이다. 따라서 “꼭짓점이 같고 그림에서 가까워 보인다”는 기준은 버리고, 반대 방향인 두 변의 쌍을 확인해야 했다.

교정 과정에서 학생은 그림에 실제로 표시된 선만 근거로 삼았다. 별도의 각 표시가 없는 부분을 억지로 맞꼭지각 후보에 넣지 않았고, 선분처럼 보이는 부분이 직선으로 이어진다는 표시가 있는지도 확인했다. 이 한 가지 기준을 세운 뒤 이미 맞게 풀었던 ∠AOC와 ∠BOD의 판단은 그대로 유지했다.

그림의 방향을 바꾸자 드러난 같은 원리

다음 활동에서는 도형을 90도 돌려 놓고 점 이름도 바꾸었다. 두 직선 EF와 GH가 점 P에서 만나고, 문제는 “∠EPG와 ∠FPH의 관계를 설명하라”는 문장으로 제시되었다. 이번에는 학생이 먼저 P를 공통 꼭짓점으로 표시한 다음, 첫 번째 각의 두 변 PE·PG와 두 번째 각의 두 변 PF·PH를 표처럼 적었다.

• PE와 PF는 한 직선 위에서 서로 반대 방향이다.
• PG와 PH도 한 직선 위에서 서로 반대 방향이다.
• 공통변을 공유하지 않고 서로 마주 보는 위치이므로 맞꼭지각이다.

그림이 기울어져 있어도 위치의 위아래를 먼저 판단하지 않고, 점 이름과 반대 방향의 반직선을 대조했다. 질문이 “맞꼭지각인가?”에서 “∠EPG와 같은 크기인 각을 찾아 이유를 쓰라”로 바뀌었을 때도, 학생은 먼저 맞꼭지각을 찾은 뒤 ∠FPH를 제시하고 두 직선의 반대 방향 변을 근거로 설명했다.

힌트 없이 다시 세운 최종 풀이

수업 후 제시한 새 그림에는 두 직선 KL과 MN이 교차하고, 각의 이름만 주어졌다. 학생은 도움 없이 교차점 Q를 표시하고 ∠KQM, ∠LQN, ∠KQN, ∠LQM을 분류했다. ∠KQM과 ∠LQN에 대해서는 “Q가 같고, QK와 QL이 반대 방향이며 QM과 QN도 반대 방향이므로 맞꼭지각”이라고 설명했다.

이어 ∠KQN과 ∠LQN은 QN을 함께 사용하므로 맞꼭지각이 아니라고 적었다. 마지막으로 그림에서 실제로 직선으로 표시된 선만 사용했는지, 각의 이름 순서를 잘못 읽지 않았는지 다시 확인했다. 처음의 오류였던 ‘가까운 위치만 보고 판단하기’를 스스로 찾아내고, 반대 방향인 두 변과 공통변 여부를 이용해 결론을 검산한 것이다.

이처럼 논현지구중1수학과외에서는 답을 외우는 대신, 도형의 방향과 점 이름이 달라져도 맞꼭지각의 조건을 다시 읽고 근거를 말하는 풀이를 확인한다.