논현지구 고2수학과외







진동하는데도 극한은 0일까?
학생 풀이 기록에는 다음과 같이 적혀 있었다.
“sin(1/x)는 x가 0에 가까워져도 계속 진동한다. 따라서 xsin(1/x)의 극한도 존재하지 않는다.”
오류는 sin(1/x)의 움직임만 보고 전체 식의 크기를 비교하지 않은 데서 시작된다. 논현지구과외에서 이 유형을 다룰 때는 먼저 진동함수의 범위를 고정하는 습관이 중요하다.
하나의 범위에서 출발하기
모든 실수 t에 대해
-1 ≤ sin t ≤ 1
이므로 x가 양수일 때는
-x ≤ xsin(1/x) ≤ x
가 성립한다. x가 음수인 경우까지 한 번에 다루려면 절댓값을 사용하여
|xsin(1/x)| ≤ |x|
라고 쓸 수 있다.
계수가 진동을 눌러 주는 과정
x가 0으로 가까워지면 |x|도 0으로 가까워진다. 따라서
-|x| ≤ xsin(1/x) ≤ |x|
에서 양쪽 끝값이 모두 0으로 수렴한다. 대소 관계의 정리에 따라
limx→0 xsin(1/x) = 0
이다.
처음 판단과 교정된 판단
| 판단 | 문제점 |
|---|---|
| sin(1/x)가 수렴하지 않으므로 전체도 수렴하지 않는다. | 진동함수에 곱해진 x의 크기를 확인하지 않았다. |
| |xsin(1/x)|≤|x|를 이용한다. | 전체 식이 0 주변에 갇히는지 확인한 올바른 접근이다. |
비슷한 식에 적용하기
다음 식도 같은 방식으로 판단할 수 있다.
limn→∞ ((-1)n/n)
여기서 (-1)n은 계속 1과 -1을 오가지만
-1/n ≤ (-1)n/n ≤ 1/n
이고 양쪽이 모두 0으로 수렴한다. 그러므로 극한은 0이다.
반대로 계수가 줄어들지 않는 sin(1/x) 자체나 (-1)n 자체는 진동을 억제할 요소가 없으므로 같은 결론을 내릴 수 없다. 핵심은 진동 여부가 아니라 진동하는 항의 크기를 0으로 몰아가는 계수가 있는지 확인하는 것이다.
매개변수가 있는 문제에서 시작점 찾기
상수를 구하는 문제와 매개변수에 따라 경우가 달라지는 문제는 읽는 방식이 다를 수 있습니다. 현재 단원에서 매개변수를 다룬다면 무엇이 고정되어 있고 무엇이 달라지는지 먼저 표시해 보세요. 숫자를 임의로 넣어 본 결과를 전체 경우의 결론으로 사용하지 않도록 주의해야 합니다.
수학 문장을 소리 내어 읽어 보기
작성한 풀이를 처음 보는 사람에게 설명하듯 읽어 보세요. 이 값, 여기, 이것처럼 가리키는 대상이 불분명한 표현이 있으면 어떤 식이나 조건을 뜻하는지 적어 줍니다. 고2 답안에서 설명을 길게 늘리지 않고 의미를 분명히 하는 연습으로 사용할 수 있습니다.
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고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
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미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
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위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
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