구월동 중1수학과외

구월동 중1수학과외에서 이어 간 반비례 풀이

구월동팬더아파트와 구월아시아드1단지가 있는 생활권에서 진행한 구월동과외 수업에서 학생은 반비례 관계를 표와 식으로 연결하는 문제를 풀었다.

표의 숫자를 바로 계산하지 않고 관계부터 읽기

문제에는 직사각형 모양의 넓이가 24㎠로 일정할 때 가로의 길이와 세로의 길이를 나타낸 표가 제시되어 있었다. 가로가 2, 3, 4, 6일 때 세로는 각각 12, 8, 6, 4였다. 학생은 표의 첫 번째 줄을 보고 “가로에 2를 곱하면 세로가 된다”고 적은 뒤, 다음 칸에서도 같은 방식으로 계산하려 했다.

풀이가 어긋난 최초의 판단은 표의 두 양을 곱해 보기도 전에 일정한 곱의 관계를 덧셈이나 곱셈의 고정된 규칙으로 정하려 한 것이었다. 그래서 가로 3에 대응하는 세로를 10이라고 썼고, 뒤의 값도 앞 칸에서 사용한 계산 순서에 맞추려 했다.

가로가 커질수록 세로가 작아진다는 모습만 보고 규칙을 정하면 안 된다. 각 대응값의 곱이 같은지 먼저 확인해야 한다.

교정할 때는 이미 적어 둔 표를 지우지 않고, 각 열 아래에 곱셈을 따로 표시했다. 2×12=24, 3×8=24, 4×6=24, 6×4=24가 차례로 성립했다. 학생은 이 공통값을 반비례상수로 정리하여 가로의 길이 × 세로의 길이=24라고 썼다. 따라서 가로를 x, 세로를 y로 나타내면 xy=24이고, 세로를 구할 때는 y=24÷x로 나타낼 수 있다는 것도 표의 값에서 직접 확인했다.

식에서 문장으로 바꾸어 다시 판단하기

다음 문제에서는 표가 주어지지 않고 “일정한 넓이의 직사각형에서 가로가 5㎝일 때 세로는 7.2㎝이다. 가로가 9㎝일 때 세로를 구하여라”라는 문장만 제시되었다. 학생은 곧바로 7.2에 9를 곱하려 했지만, 이번에는 먼저 두 수를 곱해 반비례상수를 찾았다.

5×7.2=36이므로 넓이는 36㎠이다. 새 가로가 9㎝이므로 9×y=36으로 놓고, 양변을 9로 나누어 y=4를 얻었다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라 표에서 식으로, 식에서 문장으로 정보의 형태가 달라졌지만, 대응하는 두 양의 곱이 일정하다는 기준은 그대로 유지했다.

그래프를 보고 표와 식을 되짚기

또 다른 독립 적용에서는 좌표평면에 표시된 점 (2, 18), (3, 12), (6, 6)을 보고 어떤 관계인지 설명하게 했다. 학생은 점의 첫 번째 수를 가로의 길이, 두 번째 수를 세로의 길이로 순서대로 읽고 각 점의 두 좌표를 곱했다. 2×18=36, 3×12=36, 6×6=36이므로 세 점은 같은 반비례상수 36을 나타낸다고 설명했다.

그래프에 새로운 점을 표시할 때도 먼저 가로값을 정한 뒤 y=36÷x로 세로값을 구하고, 그 결과를 표에 옮겼다. “가로가 4일 때 세로는 얼마인가?”라는 질문을 “세로가 9일 때 가로는 얼마인가?”로 바꾸어도 4×9=36을 이용해 가로 4를 찾았다. 질문의 방향이 달라져도 두 양의 대응 순서를 다시 확인한 것이다.

• 표를 보면 각 열의 두 값을 곱해 공통값을 찾는다.
• 문장을 보면 어떤 양이 일정한지 먼저 정하고 미지수를 둔다.
• 식에서는 xy=k 또는 y=k÷x의 관계를 사용한다.
• 그래프에서는 좌표의 순서를 지키고 각 점의 곱을 확인한다.

힌트 없이 원래 조건에 대입한 최종 확인

수업 후 칠판 풀이를 가린 상태에서 학생은 새 문제를 혼자 읽었다. “가로 8㎝, 세로 3㎝인 직사각형과 넓이가 같은 직사각형의 가로가 6㎝일 때 세로를 구하라”는 조건에서 먼저 8×3=24라고 적었다. 이어 6×y=24, y=4를 세웠고, 구한 값을 원래 관계에 넣어 6×4=24라고 검산했다.

학생은 “가로와 세로의 곱이 넓이로 일정하므로 반비례상수는 24이다. 가로가 6일 때는 24를 6으로 나누어 세로 4를 구하며, 다시 곱했을 때 24가 되므로 조건에 맞는다”라고 풀이 이유까지 설명했다. 마지막으로 표를 만들고 (6, 4)를 적은 뒤, 좌표의 첫 수와 둘째 수를 바꾸지 않았는지도 확인했다. 이 과정은 구월동중1수학과외에서 반비례를 표·식·문장·그래프로 바꾸어도 같은 관계를 스스로 재현했는지 확인한 장면이었다.