광주 중2수학과외

광주 중2수학과외에서 이어진 일차부등식 풀이 기록

광주 하남주공1단지와 이야기꽃도서관이 있는 생활권의 중학교 수학 문제를 다루던 수업에서 학생은 일차부등식의 해를 구한 뒤, 그 해가 실제로 맞는지 원래 식에 넣어 확인하는 과정을 연습했다. 장덕중학교가 포함된 생활권에서도 자주 만나는 유형이지만, 이번 수업의 중심은 답을 빨리 쓰는 것이 아니라 부등호의 방향과 해의 범위를 끝까지 검산하는 것이었다.

첫 풀이에서 드러난 한 줄

학생은 다음 부등식을 보고 식 옆에 분모 3과 2를 동그라미로 표시했다.

math\frac{x-1}{3}+2 \le \frac{x+5}{2}

양변의 분모를 없애려고 왼쪽 식에는 6을 곱하고, 오른쪽 식에는 2만 곱한 뒤 다음처럼 적었다.

math2(x-1)+2 \le x+5

그 뒤 괄호를 풀어 x≤5를 얻었다. 학생은 수직선에 5를 닫힌 점으로 찍고 왼쪽을 색칠했지만, 풀이 중간에 “양변에 같은 수를 곱해야 하는데 오른쪽에는 2만 곱했다”고 스스로 표시했다. 결과가 틀렸다는 사실보다 먼저 어긋난 판단은, 분모를 없애는 수를 각 항에 다르게 적용한 것이었다.

잘못된 선택만 바로잡기

이미 해 둔 괄호 풀기와 수직선 표시 방식은 그대로 두고, 분모를 없애는 한 줄만 다시 세웠다. 3과 2의 공통 배수인 6을 정한 뒤 부등식의 모든 항에 6을 곱한다고 왼쪽 여백에 적었다.

math6\left(\frac{x-1}{3}+2\right)\le6\left(\frac{x+5}{2}\right)

따라서

math2(x-1)+12\le3(x+5)

가 되고, 항을 정리하면 x≥-19가 된다. 학생은 부등호가 바뀌지 않은 이유도 말로 확인했다. “6은 양수라서 방향을 유지한다.” 이어 경계값 -19를 원래 부등식에 넣어 양변이 모두 2가 되는지 계산하고, -20을 넣었을 때는 조건을 만족하지 않는지 확인했다. 경계값만 대입하지 않고 범위 밖의 수까지 넣으면서 수직선의 오른쪽 방향이 식과 맞는지 점검했다.

표현을 바꾼 독립 적용

같은 개념을 숫자만 바꾼 식으로 반복하지 않기 위해, 이번에는 수직선과 문장으로 제시했다. 수직선에는 -2에 닫힌 점이 있고 오른쪽으로 화살표가 향해 있었으며, 문제는 “어떤 수를 세 배에서 4를 뺀 값이 그 수의 두 배보다 크거나 같은가?”라고 물었다. 학생은 그림을 먼저 보고 닫힌 점은 ‘같아도 포함’, 오른쪽은 ‘-2 이상’이라고 문장으로 바꾸었다.

math3x-4\ge2x+?

문장의 조건을 다시 읽다가 오른쪽이 단순히 2x가 아니라 “그 수의 두 배에서 4를 뺀 값”임을 확인하고 식을 고쳐 적었다.

math3x-4\ge2x-8

양변에서 2x를 빼고 4를 더해 x≥-4를 얻었다. 이때 학생은 그림의 경계가 -2였다는 점과 식에서 나온 경계 -4가 맞지 않음을 발견했다. 그림을 무조건 정답으로 받아들이지 않고, 문장으로 만든 식을 다시 읽어 “수직선의 경계가 -4라면 그림의 점 위치가 잘못 옮겨진 것”이라고 구분했다. 문제의 질문이 식을 구하는 것인지, 그림의 해를 해석하는 것인지도 확인했다.

힌트 없이 재현한 검산

다음 문제에서는 도움을 주지 않고 식과 조건만 제시했다.

math\frac{2x+1}{4}-1>\frac{x-3}{2}

학생은 첫 줄에 곧바로 “분모의 공통 배수 4를 모든 항에 곱한다”고 적었다. 양변에 4를 곱해

math2x+1-4>2(x-3)

로 바꾸고, 정리하여 x>-1을 구했다. 수직선에는 -1을 열린 점으로 표시하고 오른쪽을 색칠했다. 이어 -1을 원식에 넣으면 양변이 같아져 ‘초과’ 조건을 만족하지 않으므로 열린 점이 맞고, 0을 넣으면 왼쪽이 오른쪽보다 커져 해의 방향도 맞는다고 설명했다.

학생은 과거 오류와 연결해 “분모를 없앨 때 항마다 다른 수를 곱하면 안 되고, 양변 전체에 같은 양수를 곱해야 한다. 마지막에는 경계값과 범위 안의 수를 원래 부등식에 넣어 수직선 표시까지 확인한다”고 말했다. 이 판단을 스스로 세우고 검산까지 마친 장면이 광주과외 수업에서 확인한 실제 변화였으며, 광주중2수학과외에서도 같은 방식으로 일차부등식의 풀이 과정을 점검할 수 있다.