극한값의 계산: 최고차항으로 무한대 극한 계산하기

“분자와 분모의 모든 항을 각각 무한대로 보내 계산했는데 답이 이상해졌어요.” 학생의 풀이 기록에는 상수항과 일차항까지 끝까지 붙잡고 계산한 흔적이 남아 있었다. 하지만 이 문제의 핵심은 계산량이 아니라 분자와 분모의 차수 비교였다. 광주과외 수업에서도 무한대에서의 유리식 극한은 최고차항을 먼저 확인하도록 지도한다.

오답은 계산보다 앞선 판단에서 시작된다

학생 풀이 기록

다음 극한을 살펴보자.

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{3x^3-2x+1}{2x^3+5x^2-4} \]

한 학생은 분자와 분모의 항을 모두 따로 계산한 뒤 복잡한 식을 계속 정리하려 했다. 그러나 \(x\)가 무한히 커질 때 \(x^3\)에 비해 \(x^2\), \(x\), 상수항의 영향은 상대적으로 작아진다.

최고차항으로 나누기

분자와 분모를 \(x^3\)으로 나누면

\[ \frac{3x^3-2x+1}{2x^3+5x^2-4} = \frac{3-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}} {2+\frac{5}{x}-\frac{4}{x^3}} \]

\(x\to\infty\)일 때 \(\frac1x,\frac1{x^2},\frac1{x^3}\)은 모두 0으로 수렴하므로

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{3x^3-2x+1}{2x^3+5x^2-4} =\frac{3}{2} \]

차수 비교로 결과형을 먼저 판단하기

유리식 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\)에서 분자의 차수를 \(m\), 분모의 차수를 \(n\)이라 하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

세 식의 결과 비교

① \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{4x+1}{x^2-3}=0\)

분자 차수는 1, 분모 차수는 2이므로 극한은 0이다.

② \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{5x^2-x}{2x^2+7}= \frac52\)

분자와 분모의 차수가 같으므로 최고차항 계수의 비인 \(\frac52\)가 된다.

③ \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^4+2}{x^2+1}=+\infty\)

분자 차수가 더 높고 최고차항 부분이 \(\frac{x^4}{x^2}=x^2\)이므로 \(+\infty\)로 발산한다.

계산 없이 최종 확인하기

다음 식의 결과형을 먼저 골라 보자.

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{7x^2+3x-1}{x^3+4} \]

분자 차수는 2, 분모 차수는 3이다. 따라서 분모가 더 빠르게 커지므로 결과는 0이다.

반대로

\[ \lim_{x\to\infty}\frac{-2x^5+x}{x^3+1} \]

에서는 최고차항만 보면 \(-2x^2\)이므로 \(x\to\infty\)에서 \(-\infty\)로 발산한다. 단순히 “분자 차수가 높으면 무조건 \(+\infty\)”라고 판단하면 안 되고 최고차항의 부호까지 확인해야 한다.

정리하면, 최고차항으로 나누는 과정은 복잡한 항을 없애기 위한 계산법인 동시에 극한의 결과형을 판단하는 기준이다. 광주의 고3수학과외에서 이 단원을 복습할 때도 먼저 차수와 최고차항 계수를 확인한 뒤 필요한 식만 계산하면 오답을 크게 줄일 수 있다.