금호동 고1수학과외
금호동고1수학과외, 행렬의 크기부터 정답 후보를 걸러낸 사례
금호동종원팰리스빌 인근에서 진행한 수업에서 학생은 행렬의 성분을 곱하는 계산은 이어 갔지만, 곱셈이 가능한지 판단하는 단계에서 한 조건을 빠뜨렸다. 그 결과 결과 행렬의 크기와 정답 선택지가 서로 맞지 않는 상황이 생겼다.
크기를 확인하지 않아 계산 방향이 흔들린 순간
학생은 \(A\)가 \(2\times3\), \(B\)가 \(3\times2\)라는 정보를 보고 성분 계산부터 시작했다. 그러나 행렬 곱 \(AB\)에서는 앞 행렬의 열의 수와 뒤 행렬의 행의 수가 같아야 하며, 결과는 \(2\times2\)가 된다. 이 조건을 지나치면서 결과를 \(3\times3\)으로 예상한 것이 최초 오류였다.
행렬 곱은 “앞 행렬의 행 수 × 뒤 행렬의 열 수”로 결과 크기를 정하고, 가운데 차원은 반드시 일치해야 한다.
이후 각 행렬 옆에 행과 열을 \(2|3\), \(3|2\)처럼 표시하게 했다. 계산 전에 가운데 숫자 \(3\)과 \(3\)이 맞는지 확인하고, 바깥 숫자 \(2\)와 \(2\)를 결과 크기로 옮기는 한 가지 절차를 고정했다. 성분을 곱하기 전에 연산 가능 여부를 판정하자 답 후보를 빠르게 줄일 수 있었다.
곱셈 순서를 바꾼 조건에서 확인한 적용
다음에는 같은 행렬을 이용해 \(BA\)의 크기와 연산 가능 여부를 묻는 방식으로 바꾸었다. \(B\)는 \(3\times2\), \(A\)는 \(2\times3\)이므로 \(BA\)는 가능하고 결과는 \(3\times3\)이다. 숫자를 다시 계산하는 데 머무르지 않고, 질문의 순서가 바뀌면 결과 행렬의 크기도 달라진다는 점을 확인했다.
- \(AB\): \(2\times3\)과 \(3\times2\)의 곱이므로 \(2\times2\)
- \(BA\): \(3\times2\)와 \(2\times3\)의 곱이므로 \(3\times3\)
마지막에는 새로운 행렬 \(C\)를 제시하고 \(AC\)의 결과 크기만 먼저 판단하게 했다. 학생은 성분 계산 없이 행렬의 행·열 수를 비교해 연산 가능 여부와 결과 크기를 구분했고, 선택한 답이 요구된 크기의 행렬인지까지 확인했다.