산정동 중2수학과외

산정동 중2수학과외, 문장 속 단위에서 시작한 식의 계산

산정동과외 수업에서 학생은 산정중학교가 포함된 생활권의 문장제 문제를 풀며 식을 세우는 첫 단계에서 자주 멈췄다. 하남주공1단지와 이야기꽃도서관 인근 생활권에서 접할 법한 거리와 물품 수량을 소재로 만든 문제였지만, 어려움은 계산량보다 무엇을 문자로 둘지, 단위를 어떻게 통일할지를 정하는 데 있었다.

한 상자에 연필이 3개씩 들어 있고, 상자 수가 x개일 때 연필과 낱개로 놓인 2개의 합을 식으로 나타내어라.

학생은 문제에서 ‘상자 수’를 동그라미 치고, ‘연필 3개씩’에는 밑줄을 그었다. 그러나 곧바로 3x+2를 쓰지 않고 3^x+2처럼 적었다. 예제에서 문자와 숫자가 붙은 식을 보며 숫자 3과 문자 x를 지수 관계처럼 받아들인 것이다. 이어 다른 문항에서는 ‘한 묶음에 4개, 묶음 수가 y’라는 문장을 읽고 4y를 적었지만, 낱개 단위와 묶음 단위를 구분하지 않아 답의 단위를 쓰지 않은 채 계산을 진행했다.

첫 줄에서 잘못 고른 판단

계산 결과가 이상해진 직접 원인은 지수 계산을 틀린 것이 아니었다. 가장 먼저 어긋난 판단은 문장 속 ‘몇 개씩’과 ‘몇 제곱’을 구별하지 않고, 숫자와 문자의 위치만 보고 지수식으로 정한 것이었다. ‘3개씩 x상자’는 같은 수 3을 x번 곱한다는 뜻이 아니라, 한 상자의 개수 3에 상자 수 x를 곱한다는 뜻이다.

학생은 자신의 풀이에서 3^x가 된 순간을 표시했다. 그리고 ‘x번 반복’이라는 말이 실제 문장에 있는지 옆에 적어 보았다. 그런 표현은 없고, 상자마다 3개가 들어 있다는 조건만 있었다. 따라서 문자 x는 반복 횟수가 아니라 상자의 개수를 나타내야 했다.

문자와 단위를 한 줄로 고정하기

교정은 여러 풀이법을 덧붙이는 대신 첫 판단 하나를 바꾸는 데 집중했다. 학생은 문제를 읽자마자 다음처럼 적었다.

• x＝상자의 수, 단위는 상자
• 한 상자에 들어 있는 연필＝3개
• 상자에 들어 있는 연필＝3×x개
• 낱개 2개까지 포함한 전체＝3x+2개

이제 숫자와 문자를 붙여 쓸 때도 ‘단위당 양×단위의 수’인지 확인했다. 3x의 x는 지수가 아니라 상자의 수를 나타내는 문자이고, 식 전체의 단위는 개라는 점을 식 아래에 적었다. 이미 맞게 표시했던 ‘낱개로 놓인 2개’와 덧셈 과정은 그대로 유지했다.

가로가 (2a+1)cm인 묶음이 4개 있고, 여기에 3cm를 더했다. 전체 길이를 나타내고, a＝2일 때의 값을 구하여라.

이번에는 문장의 외형을 바꾸었다. 학생은 먼저 ‘묶음 하나의 길이’를 괄호 안에 두고, 묶음 수 4를 곱해 4(2a+1)+3이라고 썼다. 괄호를 풀 때 4를 2a와 1에 각각 곱해 8a+4+3으로 정리했고, a＝2를 대입해 23cm를 얻었다. 처음 문제처럼 단순히 숫자와 문자를 붙이는 것이 아니라, 단위가 묶음 안에서 어떻게 구성되는지를 먼저 식으로 옮긴 장면이었다.

표와 질문 방향이 바뀐 적용

다음 문제에서는 식을 만드는 대신 표가 제시되었다.

• 봉투 1개: 스티커 5장
• 봉투 n개: 스티커 몇 장?
• 봉투와 관계없이 책상 위에 놓인 스티커: 4장

학생은 봉투 수를 n개로 정하고, 표의 두 번째 행을 5n장으로 채운 뒤 전체를 5n+4장이라고 설명했다. 질문이 ‘전체 스티커 수’가 아니라 ‘봉투 수가 n개일 때 봉투 안의 스티커 수’로 바뀌자 4를 더하지 않고 5n장만 답으로 골랐다. 단위도 각각 ‘장’으로 붙였다.

부호가 포함된 식에서도 같은 판단을 재현했다. 온도가 매시간 2도씩 내려가고 처음 온도가 a도라면, 3시간 뒤 온도를 a-2×3, 즉 a-6도로 나타냈다. ‘내려간다’에 표시한 음수 부호와 ‘3시간’의 곱셈을 분리해 적었기 때문에 a-6을 a+6으로 바꾸지 않았다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

한 주 뒤 학생에게 별도의 표시나 예제 없이 다음 문항을 제시했다.

한 줄에 의자가 (x+2)개 놓인 줄이 3줄 있다. 통로 옆에 의자 1개를 더 놓았을 때 의자는 모두 몇 개인가? x＝4일 때도 확인하여라.

학생은 첫 줄에 ‘x＝한 줄에서 기본으로 세는 의자 수’라고 적고, 한 줄의 의자가 x+2개임을 먼저 정했다. 줄이 3개이므로 3(x+2)+1이라고 세웠으며, 괄호를 풀어 3x+7로 정리했다. x＝4를 대입한 결과는 19개였다.

학생은 검산 근거도 스스로 말했다. 한 줄에는 6개, 세 줄에는 18개, 통로 옆 의자 1개를 더하면 19개이므로 식의 값과 실제 문장 계산이 일치한다는 것이다. 문자와 단위를 먼저 정하고, ‘몇 개씩’은 곱셈, 추가된 것은 덧셈으로 옮긴다는 판단을 힌트 없이 다시 세운 순간이었다. 이런 과정을 중심으로 광주 산정동중2수학과외에서는 식의 계산을 문장 해석과 연결해 다룬다.