병방동 고1수학과외
병방동고1수학과외, 여사건으로 중복 선택을 줄인 경우의 수 풀이
선택 가능한 항목을 직접 세던 학생은 같은 결과가 서로 다른 순서로 반복되는 지점에서 멈췄다. 예를 들어 여러 조건을 동시에 만족하지 않는 경우를 세어 전체에서 빼야 하는 문제였지만, 일부 경우만 제외하면서 답이 맞지 않았다.
중복을 피하기 위해 여사건으로 방향을 바꾸다
핵심은 원하는 경우를 억지로 나누는 대신, 세기 쉬운 반대 경우를 먼저 정하는 것이었다. 학생은 ‘적어도 하나를 선택하는 경우’를 직접 분류하지 않고 ‘하나도 선택하지 않는 경우’를 계산한 뒤 전체 경우에서 빼는 방식으로 풀이 순서를 바꾸었다.
전체 경우 − 조건을 만족하지 않는 경우 = 조건을 만족하는 경우
이때 각 선택의 순서가 결과에 영향을 주는지 먼저 확인했다. 순서가 의미 없는 선택이라면 같은 대상을 배열 순서만 바꾸어 여러 번 세지 않도록 하나의 경우로 묶었다.
표현이 바뀐 문제에서 같은 원리를 적용하다
이후에는 선택 문제가 아니라 문장으로 제시된 조건을 해석했다. “두 종류 중 적어도 하나가 포함된다”는 표현을 “둘 다 포함되지 않는다”는 반대 조건으로 바꾸어 계산하게 했다. 단순히 숫자만 바꾼 것이 아니라, 직접 세어야 할 조건을 여사건의 문장으로 전환한 것이다.
학생은 풀이 옆에 각 경우가 어떤 조건을 뜻하는지 짧게 표시했다. 그 결과 합으로 세어야 하는 경우와 곱으로 이어지는 선택을 구분할 수 있었고, 중복되는 항목을 다시 더하는 오류도 줄었다.
마지막에는 분류 기준을 거꾸로 점검하다
새로운 문제에서는 계산 결과만 확인하지 않고, 얻은 경우들이 원래 조건을 빠짐없이 포함하는지 역으로 살폈다. 여사건으로 제외한 경우를 다시 원래 표현으로 바꾸어 보면서 누락된 경우나 두 번 포함된 경우가 없는지 확인했다.
이 과정을 통해 학생은 답을 빠르게 고르는 것보다, 경우를 어떤 기준으로 나누었는지와 그 기준이 전체 경우를 정확히 덮는지를 확인하는 습관을 만들었다.