계산지구 중1수학과외

그림의 방향보다 표시를 먼저 읽는 수직과 수선 풀이

이 생활권의 중1 수학 과외에서 한 학생과 수직과 수선을 다룰 때, 답을 외우는 방식과 그림의 조건을 읽는 방식이 얼마나 다른지 한 장의 학교 프린트로 확인했다.

문제의 그림에는 직선 ㄱㄴ 위에 점 ㄷ이 있고, 점 ㄷ에서 위쪽으로 선분 ㄷㄹ이 그어져 있었다. ㄷ에서 만나는 두 각에는 작은 네모 표시가 하나씩 있었으며, 질문은 “ㄷㄹ과 ㄱㄴ의 관계를 쓰고, ㄷ에서 ㄱㄴ에 내린 수선을 나타내라”였다. 학생은 그림을 보자마자 ㄷㄹ을 세로로 그어진 선이라고 보고 답안에 “ㄷㄹ은 ㄱㄴ과 수직이다”라고 적었다. 이어 ㄷ이 수선의 발이라고 표시했지만, 왜 그렇게 판단했는지는 쓰지 않았다.

오답의 출발점을 한 줄에서 찾다

풀이를 거꾸로 따라가 보니 학생이 처음 놓친 것은 계산이 아니라 직각 표시를 확인하지 않은 판단이었다. 그림이 기울어져 있거나 선분의 방향이 바뀌면 세로처럼 보이는지 여부는 근거가 될 수 없다. 수직인지 판단하는 기준은 두 직선이 만나 생기는 각이 직각인지, 그리고 문제에서 그 사실을 표시하거나 조건으로 알려 주었는지다.

학생의 답안 옆에 그림 속 작은 네모를 두 각에 다시 표시하게 했다. 그런 다음 “ㄷㄹ과 ㄷㄱ이 이루는 각, ㄷㄹ과 ㄷㄴ이 이루는 각이 각각 90도이므로 ㄷㄹ은 ㄱㄴ에 수직이다”라고 문장으로 바꾸어 적었다. 수선은 단순히 직각으로 만나는 선이 아니라, 한 점에서 다른 직선에 내린 선분이라는 점도 확인했다. 따라서 ㄷㄹ은 ㄱㄴ에 내린 수선이고, ㄷ은 수선의 발이라고 정리했다.

그림의 위아래 방향은 바뀔 수 있지만, 직각 표시와 두 직선이 만나는 점은 조건의 근거로 남는다.

같은 개념을 다른 모양으로 다시 읽기

다음 문제에서는 그림을 일부러 돌려 놓았다. 직선 ㅁㅂ은 비스듬히 놓였고, 점 ㅅ에서 선분 ㅅㅇ이 아래쪽으로 내려갔다. 점 ㅅ 주변에는 직각 표시가 있었지만, 선분의 이름과 위치는 앞 문제와 달랐다. 질문도 “ㅁㅂ에 수직인 선분을 고르시오”가 아니라 “점 ㅅ에서 직선 ㅁㅂ까지의 수선과 그 발을 쓰시오”로 바뀌었다.

학생은 이번에는 먼저 조건에 나온 점 ㅅ을 동그라미로 표시하고, 직각 표시가 있는 선분만 후보로 남겼다. ㅅㅇ과 ㅁㅂ이 점 ㅅ에서 만나고 두 각이 직각이므로 ㅅㅇ을 수선으로 선택했다. ㅅㅇ이 ㅁㅂ과 만나는 점이 ㅇ이므로 수선의 발은 ㅇ이라고 적었다. 그림이 기울어져 있어도 ‘세로로 보이는 선’을 고르는 대신 표시와 정의를 이용한 것이다.

표현을 바꾼 짧은 문장 문제에서도 같은 판단을 이어 갔다. “직선 엑스와이 위의 점 지에서 선분 지티가 만나며, 두 부분의 각이 모두 90도이다”라는 조건을 읽고, 학생은 먼저 지티와 엑스와이를 각각 밑줄로 구분했다. 이어 “지티는 엑스와이에 수직이고, 티는 수선의 발”이라고 썼다. 숫자를 계산하는 문제가 아니므로 불필요한 길이 비교나 그림의 크기 추측은 답안에서 제외했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

마지막 검증에서는 새 그림을 주고 아무 표시도 덧붙이지 않았다. 직선 ㄹㅅ 위의 점 ㅈ에서 선분 ㅈㅊ이 만나고, 문제 조건에는 “각 ㄹㅈㅊ의 크기는 90도”라고만 적혀 있었다. 학생은 먼저 ㅈ을 두 선이 만나는 점으로 표시한 뒤, 조건의 90도를 근거로 두 선이 수직임을 설명했다. 이어 ㅈ에서 직선 ㄹㅅ에 내린 선분이 ㅈㅊ이므로 ㅈㅊ은 수선이고, 수선의 발은 ㅈ이라고 구분했다.

학생은 마지막으로 “수직은 두 직선이 직각으로 만나는 관계이고, 수선은 한 점에서 다른 직선에 내린 선분이다. 이번 문제에서는 ㄹㅅ과 ㅈㅊ이 ㅈ에서 만나며 직각 조건이 있으므로 수직이라고 판단했다”라고 직접 설명했다. 처음처럼 그림의 방향을 근거로 삼지 않았고, 주어진 직각 조건과 만나는 점을 다시 대조해 답을 확인했다. 이처럼 계산지구과외 수업에서는 한 번의 오답을 단순히 고치는 데 그치지 않고, 계산지구중1수학과외에서 수직과 수선의 판단 근거를 다른 그림과 문장에서도 재현하도록 풀이를 이어 간다.