계산지구 고1수학과외







계산지구 고1수학과외: 역함수 그래프에서 정답 후보를 가려낸 과정
학생은 역함수의 그래프가 직선 \(y=x\)에 대칭이라는 점을 기억하고 후보를 바로 선택했다. 그러나 원함수의 정의역에 포함된 경계값이 역함수에서는 치역의 끝점으로 바뀐다는 조건을 놓쳤다. 계산 자체보다 그래프의 대응 범위를 잘못 해석한 것이 핵심 오류였다.
끝점 하나가 바뀐 이유를 찾다
예를 들어 \(f(x)=2x-1\), 정의역이 \(x\ge 2\)라면 원함수의 값은 \(y\ge 3\)이다. 따라서 역함수는 \(f^{-1}(x)=\frac{x+1}{2}\)이고 정의역은 \(x\ge3\)이다. 학생은 역함수 식은 맞게 구했지만, 그래프의 시작점을 \((2,\,\frac52)\)로 표시했다.
역함수의 입력값은 원함수의 출력값이므로, 원함수의 치역을 역함수의 정의역으로 옮긴다.
교정할 때는 그래프 모양을 다시 그리게 하지 않고, 후보 식에 원함수의 대응값을 직접 넣어 확인하게 했다. \(f(2)=3\)이므로 역함수에서는 \(f^{-1}(3)=2\)가 되어야 한다. 이 대입으로 그래프의 정확한 끝점이 \((3,2)\)임을 확인했다.
식이 아니라 질문의 방향을 바꾼 적용
다음에는 \(g(x)=\frac{x-4}{3}\), 정의역 \(x\ge1\)인 경우를 제시하고 역함수의 그래프가 시작되는 점을 먼저 찾게 했다. 원함수의 최솟값은 \(g(1)=-1\)이므로 역함수의 정의역은 \(x\ge-1\)이다. 따라서 \(g^{-1}(x)=3x+4\)의 그래프는 \((-1,1)\)에서 시작한다.
이번에는 식을 먼저 뒤집지 않고, 원함수의 입력과 출력의 역할을 표로 옮긴 뒤 끝점의 좌표를 서로 바꾸었다. 표현이 식에서 그래프로 달라져도 정의역과 치역을 교환하는 기준은 유지됐다.
새 후보를 판별한 최종 확인
- 원함수의 끝점 \((1,-1)\)을 역함수의 끝점 \((-1,1)\)으로 바꿀 수 있는가?
- 후보 그래프의 입력 범위가 \(x\ge-1\)로 표시되어 있는가?
- 직선 \(y=x\)에 대칭시켰을 때 원래 그래프와 대응하는가?
마지막 문항에서는 그래프를 직접 대칭시키는 대신, 원함수와 역함수를 합성해 \(g^{-1}(g(1))=1\)인지 확인했다. \(g(1)=-1\), \(g^{-1}(-1)=1\)이므로 끝점과 함수의 대응이 모두 일치했다. 학생은 이후 역함수 그래프에서 식만 맞추지 않고 정의역의 경계까지 함께 검토했다.