춘천 고3수학과외

정답에서 거꾸로 찾은 독립성 판단의 첫 갈림길

춘천의 e-편한세상아파트와 석사4거리 사이 생활권에서 학습하던 학생은 독립사건 문제를 풀 때 계산 자체보다 풀이의 출발점을 점검하는 데 시간이 걸렸다. 춘천고3수학과외 수업에서 최근 풀이를 다시 펼쳤을 때도 최종 답은 맞았지만, 식을 여러 번 고쳐 쓰느라 풀이가 길어져 있었다.

문제는 주사위 두 개를 동시에 던졌을 때를 다뤘다. 사건 \(A\)는 “첫 번째 주사위가 짝수”, 사건 \(B\)는 “두 주사위의 합이 짝수”였다. 학생은 답지의 결론인 ‘두 사건은 독립’을 확인한 뒤, 풀이를 끝에서부터 되짚었다. \(P(A)=\frac12\), \(P(B)=\frac12\), \(P(A\cap B)=\frac14\)까지의 계산은 모두 맞았다.

계산보다 먼저 표시해야 할 문장

학생이 처음 멈춘 줄은 교집합 계산이 아니었다. 사건 \(B\)를 “두 주사위가 모두 짝수이거나 모두 홀수인 경우”로 바꾸어 적은 직후, 사건 \(A\)와 \(B\)가 함께 일어날 수 있는지를 별도 확인하지 않고 독립 여부를 판단하려 했다. 실제로 \(A\cap B\)는 첫 주사위가 짝수이고 합이 짝수인 경우이므로 두 번째 주사위도 짝수여야 한다.

즉 가능한 결과는 \((2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)\)의 9개가 아니라, 전체 36개 중 첫 주사위와 두 번째 주사위가 모두 짝수인 9개다. 따라서 \(P(A\cap B)=\frac{9}{36}=\frac14\)이다. 학생의 최초 오류는 분수를 계산한 뒤 생긴 것이 아니라, 사건의 문장을 교집합으로 옮길 때 두 번째 조건을 확인하지 않은 데 있었다.

독립은 “함께 일어날 수 있다”는 말이 아니라, \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)인지 확인하는 판단이다.

첫 식의 근거를 한 줄로 고정하기

교정할 때 모든 풀이를 다시 쓰게 하지 않고, 사건 정의 옆에 “\(A\cap B\): 첫 주사위 짝수이며 합도 짝수”라고 적게 했다. 그다음 가능한 결과를 전부 나열하지 않고, 첫 주사위가 짝수로 고정되면 합을 짝수로 만들기 위해 두 번째 주사위도 짝수여야 한다는 이유만 남겼다. 마지막에는 위험한 줄인 \(P(A\cap B)\)와 \(P(A)P(B)\)만 비교했다.

이 표시를 한 뒤 학생은 배반과 독립을 분리해 기록했다. 배반이면 \(P(A\cap B)=0\)이지만, 독립이면 일반적으로 교집합이 0일 필요가 없고 두 확률의 곱과 같아야 한다. 이 구분을 노트의 같은 줄에 섞지 않은 것이 풀이 시간을 줄인 직접적인 변화였다.

사건의 순서를 바꾼 변형

다음 문제는 카드 한 장을 뽑는 상황으로 바꾸었다. 1부터 6까지 적힌 카드 중 하나를 뽑을 때 \(C\)는 “3의 배수”, \(D\)는 “짝수”라고 제시하고, 이번에는 \(D\)를 먼저 설명한 뒤 \(C\)와의 독립 여부를 묻도록 했다. 학생은 순서가 바뀌었는데도 먼저 \(C\cap D=\{6\}\)을 적고, \(P(C)=\frac13\), \(P(D)=\frac12\), \(P(C\cap D)=\frac16\)을 구했다.

\(\frac13\cdot\frac12=\frac16\)이므로 두 사건은 독립이다. 숫자만 바꾼 반복이 아니라 사건의 제시 순서와 기준 사건을 바꾼 문제였지만, 학생은 “교집합을 먼저 구하고 곱과 대조한다”는 행동을 유지했다. 특히 “3의 배수와 짝수는 겹칠 수 없으므로 배반”이라고 쓰려던 흔적을 지우고, 실제 공통 원소 6을 먼저 찾았다.

다음 날 무표시 풀이에서 확인한 것

힌트 없이 새 문제를 제시했다. 1부터 8까지의 수 중 하나를 뽑아 \(E\)를 “4의 약수”, \(F\)를 “짝수”로 정했다. 학생은 \(E=\{1,2,4\}\), \(F=\{2,4,6,8\}\)을 적고 \(E\cap F=\{2,4\}\)를 확인했다. 이어 \(P(E\cap F)=\frac{2}{8}\), \(P(E)P(F)=\frac38\cdot\frac48=\frac{3}{16}\)으로 서로 다르다고 판단했다.

검산 중 학생은 분모를 다시 보며 \(P(E)=\frac38\), \(P(F)=\frac12\)라고 수정했고, 곱은 \(\frac{3}{16}\), 교집합은 \(\frac14\)이므로 독립이 아니라고 결론냈다. 이때 오류 위치를 계산 끝에서 찾은 것이 아니라 확률값을 사건의 원소 수와 대조해 찾아냈다. 춘천과외 학습 기록에는 정답뿐 아니라 첫 식의 근거와 교집합 확인 여부까지 남겨, 다음 독립 확률 문제에서도 같은 판단이 재현되는지 확인했다.