온의동 중3수학과외
온의동 중3수학과외에서 살펴본 정의역 제한과 최대·최소
온의동과외 수업에서 한 학생이 도서관 자습 시간에 풀던 문제를 가져왔습니다. 문제는 함수 y=-x²+4x+1에서 정의역이 1≤x≤3일 때 최댓값과 최솟값을 구하는 것이었습니다. 온의동중3수학과외에서는 그래프의 모양만 빠르게 읽기보다, 제한된 x의 범위 안에서 실제로 어떤 좌표가 나타나는지 확인하는 데 초점을 맞췄습니다. e-편한세상아파트와 롯데캐슬아파트가 있는 생활권, 남춘천중학교와 남춘천여자중학교가 포함된 지역에서도 이런 유형은 식과 그래프를 함께 확인하는 연습이 필요합니다.
그래프를 먼저 단정한 순간
학생은 공책에 다음과 같이 적었습니다.
“아래로 열린 그래프이고 꼭짓점이 위에 있으므로 최댓값은 5, 최솟값은 1이다.”
꼭짓점의 x좌표를 2로 보고 y값을 5로 계산한 부분은 맞았습니다. 하지만 최솟값을 1이라고 쓴 순간 판단이 어긋났습니다. 예제에서 자주 보던 전체 그래프의 양 끝값을 떠올려, 주어진 정의역 1≤x≤3 안에서 실제로 비교해야 한다는 조건을 빠뜨린 것입니다. 이때 아직 계산하지 않은 값은 x=1과 x=3에서의 함수값이었습니다.
식과 그래프의 좌표를 직접 맞추기
잘못된 계산을 전부 다시 쓰게 하지 않고, 최초 판단만 바꾸었습니다. 그래프의 모양을 보고 최댓값을 정하는 대신, 제한된 구간에 들어오는 주요 x값을 식에 대입해 좌표를 확인했습니다.
- x=1일 때 y=-(1)²+4(1)+1=4이므로 좌표는 (1, 4)
- x=2일 때 y=-(2)²+4(2)+1=5이므로 좌표는 (2, 5)
- x=3일 때 y=-(3)²+4(3)+1=4이므로 좌표는 (3, 4)
따라서 정의역 안에서 가장 높은 y값은 5, 가장 낮은 y값은 4입니다. 학생은 “그래프가 아래로 열린다는 사실은 값의 위치를 예상하는 데 쓰고, 최종 판단은 해당 x의 식값과 좌표를 대응시켜야 한다”고 한 문장으로 기준을 정리했습니다. 이 교정은 풀이 순서 전체를 바꾼 것이 아니라, 그래프만 보고 최솟값을 단정한 행동 하나를 고친 것입니다.
표로 제시된 문제에서 기준을 옮기다
며칠 뒤에는 식이 바로 주어지지 않고 다음 표와 질문으로 바꾸어 제시했습니다.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 |
단, 이 표의 함수에서 정의역은 -1≤x≤2이고, “이 구간에서 함수의 최댓값과 최솟값을 각각 구하라”는 문제였습니다. 이번에는 아래로 열린 그래프라는 설명도, 식의 계수도 없었습니다. 학생은 먼저 표에서 정의역에 해당하는 x값만 골라 -1, 0, 1, 2를 표시했습니다. 그다음 대응하는 함수값을 0, -1, 0, 3으로 옮겨 적었습니다.
그 결과 최댓값은 3, 최솟값은 -1이며, 각각의 위치는 x=2와 x=0이라고 설명했습니다. 표 밖의 x=-2에서 f(x)=3이라는 값은 같은 값이라도 제한된 정의역을 판단하는 과정에 포함하지 않았습니다. 식·표·그래프의 제시 방식은 달라도, 주어진 정의역 안의 좌표와 함수값을 직접 대응한다는 기준은 그대로 유지되었습니다.
도움 없이 다시 확인한 풀이
한 주 뒤, 별도의 힌트 없이 다음 문제를 풀었습니다.
함수 y=x²-6x+10의 그래프에서 2≤x≤5일 때 y의 최댓값과 최솟값을 구하고, 그 값을 식에 대입하여 확인하시오.
학생은 먼저 x=2, 3, 5에서의 값을 기록했습니다.
- f(2)=4-12+10=2
- f(3)=9-18+10=1
- f(5)=25-30+10=5
그리고 제한된 구간 안에서 가장 작은 값은 1, 가장 큰 값은 5라고 판단했습니다. x=3에서 y=1이므로 좌표 (3, 1), x=5에서 y=5이므로 좌표 (5, 5)라고 적었습니다. 마지막에는 f(3)=1, f(5)=5를 다시 계산해 답과 일치하는지 검산했습니다. 그래프의 인상이나 익숙한 예제 순서가 아니라, 정의역 안의 x와 식의 값을 대응시켜 최대·최소를 결정한 장면이었습니다.