당감동 중3수학과외
당감동 중3수학과외에서 확인한 전개식 검산의 기준
당감동과외 수업에서 다항식의 곱셈을 다루던 중, 학생이 적어 온 전개식 하나에서 계산보다 먼저 살펴볼 부분이 드러났습니다. 가야벽산아파트와 부산광역시립부전도서관 인근 생활권에서 중학교 수학을 공부하는 학생이라면, 전개 결과만 보고 맞았다고 판단하기보다 원래 식과 전개식에 같은 간단한 값을 넣어 비교하는 습관이 유용합니다. 다만 이번 장면의 중심은 다항식의 곱셈 자체와 그 결과를 대입으로 확인하는 과정에 한정했습니다.
공책에 남은 첫 식
문제는 다음과 같았습니다.
(2x-3)(x+4)를 전개하시오.
학생은 첫 줄에
(2x-3)(x+4)=2x²+8x-3x+4
라고 적었습니다. 이어서 가운데 항을 정리해 2x²+5x+4라고 답했습니다. 앞의 두 곱인 2x×x, 2x×4는 정확히 적었지만, -3×4를 계산할 때 부호를 확인하지 않고 4라고 쓴 것입니다. 이때 최종 답이 틀렸다는 사실보다 중요한 것은, 전개하기 전에 각 항이 무엇과 곱해지는지와 부호를 점검하지 않았다는 첫 판단입니다.
수업에서는 곧바로 정답을 알려 주지 않고 x=1을 대입했습니다. 원래 식의 값은
(2×1-3)(1+4)=(-1)×5=-5
입니다. 그런데 학생의 전개식에 x=1을 넣으면
2×1²+5×1+4=11
이 되어 서로 다릅니다. 이 비교는 새로운 계산 유형을 추가한 것이 아니라, 전개 전후의 식이 같은 식인지 확인하는 대입 검산입니다.
한 군데만 바꾼 전개 기록
학생이 이미 맞게 계산한 부분은 그대로 두고, 처음부터 모든 항을 한 번씩 짝지어 적도록 했습니다.
(2x-3)(x+4)
=2x·x+2x·4+(-3)·x+(-3)·4
=2x²+8x-3x-12
=2x²+5x-12
바뀐 행동은 하나입니다. 괄호를 벗길 때 항별 곱을 빠짐없이 적고, 특히 음수인 -3을 포함한 곱은 부호까지 함께 기록하는 것입니다. 이미 맞았던 2x², 8x, -3x의 계산은 유지했습니다. 그 뒤 x=1을 넣으면 원래 식은 -5, 새 전개식은
2+5-12=-5
가 되어 두 값이 일치합니다. 이때 ‘답이 맞는 것 같다’고 넘기지 않고, 같은 값을 얻었다는 근거를 말로 확인했습니다.
표현을 바꾼 문제에서 다시 선택하기
며칠 뒤에는 식의 모양과 질문을 바꾸었습니다.
직사각형의 가로가 (3a-2), 세로가 (a-5)일 때 넓이를 전개식으로 나타내고, a=2를 대입하여 전개 결과를 확인하시오.
학생은 먼저 넓이를 곱셈식으로
(3a-2)(a-5)
라고 쓴 뒤, 예전처럼 결과를 바로 추측하지 않았습니다.
(3a-2)(a-5)
=3a·a+3a·(-5)+(-2)·a+(-2)·(-5)
=3a²-15a-2a+10
=3a²-17a+10
이번에는 음수와 음수의 곱을 +10으로 표시하고, 각각의 항이 실제로 곱해졌는지 확인했습니다. 이어 a=2일 때 원래 곱셈식은
(6-2)(2-5)=4×(-3)=-12
이고 전개식은
3×2²-17×2+10=12-34+10=-12
입니다. 앞선 문제와 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 넓이라는 상황에서 곱셈식을 세우고 값의 일치를 확인하는 방식으로 표현을 바꾼 것입니다. 그래도 사용한 기준은 전개식의 각 항을 확인한 뒤, 간단한 값을 대입해 원래 식과 비교하는 한 가지 기준에 머물렀습니다.
도움 없이 남긴 마지막 검산
마지막에는 힌트 없이 다음 식을 제시했습니다.
(4y+1)(2-y)를 전개하고, y=-1을 사용해 결과를 검산하시오.
학생은
(4y+1)(2-y)
=4y·2+4y·(-y)+1·2+1·(-y)
=8y-4y²+2-y
=-4y²+7y+2
라고 작성했습니다. 이어 원래 식에 y=-1을 넣어
(-4+1)(3)=-9
를 구하고, 전개식에도 대입하여
-4×(-1)²+7×(-1)+2=-4-7+2=-9
라고 비교했습니다. 학생은 “항을 먼저 모두 적고 부호를 포함해 계산했으며, 전개 전후에 같은 값을 넣었을 때 -9로 같으므로 전개식이 일치한다”고 설명했습니다. 당감동중3수학과외에서 확인한 변화는 풀이를 길게 만드는 데 있지 않습니다. 다항식의 곱셈에서 빠뜨리기 쉬운 항과 부호를 먼저 기록하고, 간단한 대입으로 전개 결과를 스스로 검증하는 기준을 독립적으로 선택한 데 있습니다.