송림지구 중3수학과외

송림지구 중3수학과외, 접점부터 확인한 두 접선의 길이

송림지구과외 수업에서 오답노트를 함께 펼쳤을 때, 한 문제의 답보다 풀이가 시작되는 지점이 눈에 들어왔습니다.

문제의 그림에는 원이 있고, 원 바깥의 점 P에서 원에 그은 두 선분이 각각 원과 A, B에서 만났습니다. 두 선분이 접선이라는 조건과 함께 PA=11cm가 주어졌고, PB의 길이를 구하는 문제였습니다.

점 P에서 원에 그은 두 접선 PA, PB에 대하여 PA=11cm일 때 PB의 길이를 구하여라.

답을 고르기 전에 빠진 표시

학생은 오답노트에 다음과 같이 적었습니다.

“PA와 PB는 모두 원에 닿아 있으므로 길이가 같다. 따라서 PB=11cm.”

계산 자체는 짧고 결론도 맞았습니다. 그러나 풀이를 다시 말해 보라고 하자 학생은 그림을 180도 돌려 놓은 뒤에는 어느 선분을 비교해야 할지 바로 찾지 못했습니다. 처음 문제에서는 예제에서 보았던 모양과 점 이름의 순서를 기억해 PA와 PB를 골랐던 것입니다.

이때 가장 먼저 어긋난 판단은 숫자를 잘못 읽은 것이 아니었습니다. 두 선분이 같은 한 점 P에서 시작하고, 각각 원에 접하는 접점 A와 B로 이어지는지 확인하지 않은 채 성질을 적용한 것이 최초의 오류였습니다. 원에 닿아 보인다는 인상만으로는 부족하고, 두 접선의 공통 출발점과 두 접점을 먼저 구분해야 합니다.

풀이 첫 줄을 ‘접점 표시’로 바꾸다

교정은 한 가지 행동으로 정리했습니다. 문제를 읽자마자 그림에서 다음 세 부분만 표시하는 것입니다.

두 선분이 출발하는 같은 점을 동그라미 친다.
각 선분이 원과 만나는 접점을 각각 표시한다.
표시한 두 선분의 이름을 나란히 적는다.

학생은 같은 문제를 다시 보며 공통점 P, 접점 A와 B, 비교할 선분 PA와 PB를 적었습니다. 그 뒤 “한 점 P에서 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같다”라고 조건과 성질을 연결하고,

PA=PB
11=PB
PB=11cm

으로 마무리했습니다. 앞서 맞았던 계산은 그대로 두고, 계산 전에 접점과 공통점을 확인하는 절차만 바로잡은 것입니다. 핵심은 원의 위치나 그림의 방향이 아니라, 같은 외부의 한 점에서 각각 원에 접하는 두 선분인지 판단하는 데 있습니다.

그림을 돌리고 질문을 거꾸로 바꾼 연습

다음 문제에서는 그림을 일부러 다르게 제시했습니다. 원의 오른쪽 아래에 점 Q를 놓고, Q에서 원에 그은 두 접선의 접점을 각각 C, D로 표시했습니다. 이번에는 QD=14cm이고, 선분 QC의 길이가 아니라 두 선분의 차를 묻는 대신 QC+QD를 구하도록 했습니다.

학생은 먼저 그림의 방향에 반응하지 않고 Q에 동그라미를 쳤습니다. 이어 C와 D를 접점으로 표시한 뒤 두 선분을 QC, QD로 적었습니다.

QC=QD=14cm이므로
QC+QD=14+14=28cm

이번 문제는 숫자만 바꾼 반복이 아니었습니다. 점의 위치와 이름을 바꾸고, 구하는 대상을 한 선분에서 두 선분의 합으로 바꾸었지만, 판단 기준은 같았습니다. 학생은 “Q에서 시작하는 두 선분이 각각 원에 접하므로 길이가 같다”고 설명했습니다. 다른 원이나 다른 출발점이 섞여 있지는 않은지도 마지막에 확인했습니다.

힌트 없이 다시 세운 기준

일주일 뒤, 송림지구중3수학과외 복습 시간에는 도움말 없이 새 그림을 제시했습니다. 원의 왼쪽에 점 R이 있고, R에서 원에 그은 두 접선의 접점은 E, F였습니다. RE=9cm일 때 RF를 구하는 문제였습니다.

학생은 문제를 읽은 뒤 곧바로 “먼저 같은 출발점인지, 선분 끝이 원의 접점인지 보겠습니다”라고 말했습니다. 그림에서 R, E, F를 표시하고 두 선분을 비교한 다음 다음과 같이 풀이했습니다.

RE와 RF는 한 점 R에서 원에 그은 두 접선의 길이이므로 RE=RF.
RF=9cm.

검산할 때는 단순히 답 숫자만 다시 보지 않았습니다. “두 선분 모두 R에서 출발했는가?”, “E와 F가 각각 원에 접하는 점인가?”, “비교한 선분이 RE와 RF가 맞는가?”를 원래 그림과 대조했습니다. 세 조건이 모두 맞으므로 9cm라는 결론을 유지했습니다. 그림이 회전하거나 점 이름이 달라져도 먼저 공통점과 두 접점을 표시한다는 기준이 스스로 재현된 순간이었습니다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

중등 수학

개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.

중3 점검 기준

누적된 어휘·개념의 빈틈과 현재 진도를 나누어 점검하고, 새로운 문제에서도 풀이 기준이 유지되는지 확인합니다.

수업 진행 예시

문장 조건을 식으로 옮기기

어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.

괄호와 부호 확인하기

2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

중등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준
학교급	방문 수업	화상 수업
중등	29~44만 원	26~40만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

수업 이용에 관한 자주 묻는 질문

수업 준비와 비용·보강에 관한 안내도 함께 확인해 주세요.

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송림지구 중3수학과외 수업 후기

중간고사를 앞두고 문제집을 정리하다가 맨 뒤쪽에서 아이가 적어 둔 짧은 메모를 봤어요. 자주 틀리는 계산 방식만 몇 가지 간단히 적혀 있었는데, 그냥 문제를 많이 푸는 것과는 이전과 달라 보이더라고요. 송림지구 수학과외를 알아보던 때에도 이런 부분을 유심히 보게 됐어요. 전에는 틀린 문제가 나오면 순서대로 다시 풀거나 답을 확인하고 넘어가는 편이었거든요. 그런데 이번에는 반복되는 계산 실수를 본인이 따로 추려서 문제집 뒤에 남겨 두고 있었습니다. 무엇부터 살필지 스스로 정해 둔 모습이었어요. 단원평가를 준비하는 밤에는 계산에서 자꾸 헷갈리는 부분을 또 짧게 적어 두더라고요. 책을 정리하면서도 질문할 만한 흔적은 지우지 않고 그대로 남겨 두었습니다.

★★★★★수업 후기

오답이 많이 나온 단원을 다시 펼쳐 보던 날, 아이 책상 위에 서술형 풀이 흔적이 남아 있었어요. 답안 전체를 새로 쓴 게 아니라, 지우개로 적어 둔 문장을 지운 뒤 중간식부터 다시 이어서 적어 놓았더라고요. 어디서부터 손을 댔는지 보여서 한참 살펴봤습니다. 전에는 막힌 부분이 있어도 따로 표시하지 않고 다음 공부로 넘어갔거든요. 그런데 이번에는 서술형 답을 통째로 고치기보다 잘못된 중간식을 먼저 찾아 다시 써 두었어요. 송림지구 수학과외라는 말을 접하고 있던 때라 책상 주변을 자주 보게 됐는데, 이런 작은 차이가 인상에 남았습니다. 수업 전 질문 표시를 확인할 때도 같은 흔적이 보였어요. 표시해 둔 부분에서 답안 전체보다 틀린 중간식부터 다시 적어 놓았고, 점검한 자리에는 그 과정을 그대로 남겨 두었더라고요.

★★★★★수업 후기

책상 한쪽에 문제 몇 장이 접혀 있길래 무슨 표시인가 했어요. 답을 틀린 문제들이 아니라, 계산 결과는 맞는데 검산을 하지 않은 것들만 모아 둔 거더라고요. 수학 수행평가를 준비하던 밤이라 잠깐 살펴봤는데, 그냥 지나칠 수도 있는 문제를 따로 골라 둔 게 눈에 들어왔어요. 전에는 풀이가 어떻게 달라졌는지 비교하기보다 답이 맞는지만 확인하고 넘어갔거든요. 송림지구 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 부분을 집에서 보게 될 줄은 몰랐어요. 그런데 다른 유형의 독해 문제를 풀 때도 검산이 필요한 문제에만 따로 표시를 해두고 있었습니다. 답을 맞혔는지와 한 번 더 확인해야 하는지를 나눠서 보고, 다시 볼 대상을 분명히 정해 둔 모습이었어요.

★★★★★수업 후기

수업 흐름 속에서 자연스럽게 나타난 수업 끝에 다음 주 계획을 정할 때, 시험을 앞둔 부담이 나타나는 장면. 처음 과외를 시작할 무렵에는 한 과목에 오래 매달리는 편이라 수업 전에 질문할 문제를 따로 정리하지 않았습니다. 처음에는 익숙한 공부 방식이 쉽게 바뀌지 않았습니다. 수업 중에는 필요한 순간에는 어려운 문제 뒤에는 부담을 낮출 수 있는 문제를 섞어 수업 흐름을 조절했습니다 학생이 스스로 이어갈 시간을 남겨두는 방식이었습니다. 집에서 살펴보면 수업을 마친 뒤 스스로 해냈다는 느낌을 갖는 날이 늘어난 것 같았습니다 큰 변화라기보다 이런 작은 차이가 반가웠습니다. 학부모 관점에서 지켜본 실제 변화라 앞으로의 공부 과정도 차분히 지켜보고 싶습니다.

★★★★☆수업 후기

수업 흐름 속에서 자연스럽게 나타난 새 학기를 앞두고 공부 시간을 다시 잡을 때, 틀린 문제를 다시 대하는 장면. 처음 과외를 시작할 무렵에는 공부한 내용을 금방 잊는다고 느껴 문제를 조금 풀다가 어렵다고 느끼면 손을 놓곤 했습니다. 처음에는 익숙한 공부 방식이 쉽게 바뀌지 않았습니다. 수업 중에는 수업 초반에는 학교 진도가 늦어지면 무리하게 앞서가기보다 현재 범위를 탄탄하게 정리했습니다 학생이 부담을 느끼지 않는 선에서 수업 흐름을 맞췄습니다. 학부모 입장에서는 수학을 잘해야 한다는 부담보다 모르는 것을 하나씩 해결하려는 태도가 커졌습니다 빠른 결과보다 이런 흐름이 이어지는 것이 더 중요하게 느껴졌습니다. 학부모 관점에서 지켜본 실제 변화라 앞으로의 공부 과정도 차분히 지켜보고 싶습니다.

★★★★★수업 후기

수업이 끝난 뒤에도 바로 집에 가기보다 오늘 궁금했던 내용을 선생님께 한 번 더 물어보는 제 모습이 조금씩 자연스러워졌습니다. 송림지구에서 수업을 시작할 때는 시험만 다가오면 공부량을 갑자기 늘려 힘들었는데, 숙제를 거의 끝내고 한 문제만 남았을 때도 틀린 이유를 함께 찾아 주셔서 부담이 덜했습니다. 일정에도 차분히 적응하면서 복습하는 습관이 생긴 점이 가장 만족스럽습니다.

★★★★☆수업 후기