동춘지구 중1수학과외

동춘지구 중1수학과외, 평행선과 동위각을 다시 읽는 풀이

문제에는 두 직선 l과 m이 서로 평행이고, 한 직선이 두 평행선을 가로지르며 생긴 각 하나가 68°라고 표시되어 있었다. 물음은 그 각과 같은 위치에 있는 각의 크기를 구하는 것이었다.

숫자보다 먼저 확인해야 했던 것

학생은 그림을 보자마자 68°를 적고, 위쪽 교점에서 오른쪽 위에 있는 각을 답으로 골랐다. 아래쪽 교점의 오른쪽 위 각이 구하는 각이라는 표시도 확인했지만, 각의 위치를 비교하기보다 예제에서 본 그림의 방향을 떠올려 계산했다. 그래서 답안에는 “동위각은 크기가 같으므로 68°”라고 적혀 있었지만, 그 문장은 그림에 표시된 두 각이 실제로 동위각인지 설명하지 못했다.

풀이가 어긋나기 시작한 지점은 계산이 아니라 각의 위치를 확인하기 전에 동위각이라고 단정한 판단이었다. 평행선 문제에서는 두 직선과 가로지르는 직선이 만드는 교점에서 각이 어느 쪽에 놓였는지를 먼저 살펴야 한다.

동위각은 두 교점에서 각각 같은 방향에 놓인 각이며, 두 직선이 평행할 때 그 크기가 같다.

그림의 표시를 기준으로 순서를 고치다

학생은 그림을 돌려 보지 않고, 두 교점을 위와 아래로 나누어 공책에 다시 표시했다. 위 교점의 네 각에 왼쪽 위, 오른쪽 위, 왼쪽 아래, 오른쪽 아래라고 적고, 아래 교점에도 같은 순서로 표시했다. 주어진 68°가 위 교점의 왼쪽 아래에 있고, 구하는 각이 아래 교점의 왼쪽 아래에 있다는 사실을 확인했다.

두 각은 가로지르는 직선을 기준으로 같은 쪽에 있고, 각각 평행선의 같은 방향에 놓였다. 따라서 둘은 동위각이다. 학생은 식을 새로 만들기보다 주어진 조건과 각의 위치를 근거로 다음처럼 정리했다.

• 위쪽 교점의 왼쪽 아래 각: 68°
• 아래쪽 교점의 왼쪽 아래 각: 위 각과 동위각
• 평행선에서 동위각의 크기는 같음
• 따라서 구하는 각: 68°

이때 중요한 것은 문제에 표시된 선이 정말 평행선인지, 각의 위치가 같은 방향인지였다. 그림이 기울어져 보이거나 교점의 이름이 달라도, 실제 표시와 조건을 기준으로 판단해야 한다는 점을 풀이 옆에 적었다.

방향과 점 이름을 바꾼 독립 적용

다음 문제에서는 평행한 두 직선이 세로로 그려져 있었고, 가로지르는 직선이 왼쪽에서 오른쪽 아래로 기울어져 있었다. 위쪽 교점의 오른쪽 위 각에 54°가 주어졌으며, 아래쪽 교점의 오른쪽 위 각을 구하라는 문장이었다. 앞 문제와 그림의 방향도 다르고 교점의 이름도 P, Q로 바뀌어 있었다.

학생은 예전 그림을 떠올리지 않고 먼저 “P에서 오른쪽 위, Q에서 오른쪽 위”라고 위치를 문장으로 바꾸었다. 이어 두 각이 각 교점에서 같은 방향에 놓였음을 확인하고, 평행선 조건을 다시 읽은 뒤 동위각 관계를 세웠다. 따라서 구하는 각을 54°라고 썼다. 숫자만 대입한 것이 아니라, 그림의 방향이 바뀌어도 같은 위치 관계를 찾은 것이다.

힌트 없이 원래 문제를 다시 설명하다

수업 끝에는 그림을 가리고 문제 문장과 간단한 도형만 남겼다. 학생은 “두 직선이 평행이고, 한 직선이 두 직선을 가로지른다. 주어진 각과 구하는 각이 두 교점에서 같은 방향이면 동위각이다. 평행선의 동위각은 같으므로 주어진 68°를 그대로 쓴다”고 설명했다.

그 뒤 그림을 다시 열어 주어진 68°와 답 68°를 각각 해당 위치에 표시했다. 두 표시가 같은 방향인지 대조하고, 문제의 평행선 조건이 빠지지 않았는지도 확인했다. 마지막으로 답을 원래 질문에 넣어 “구하는 동위각의 크기는 68°”라는 문장이 자연스럽게 성립하는지 검산했다.

동춘지구중1수학과외에서는 이처럼 공식을 먼저 외워 적용하기보다, 도형에 실제로 그려진 위치와 문제의 조건을 차례로 확인하며 평행선과 동위각의 관계를 재현하도록 풀이를 이어 갔다.