금암동 중1수학과외
금암동 중1수학과외에서 다룬 나이 관계 방정식
금암동과외 수업에서 학생은 전주온빛중학교가 포함된 생활권의 교과서 문제를 풀었다. 문제는 “아버지는 아들보다 28살 많고, 4년 후 아버지의 나이는 아들의 나이의 2배가 된다. 현재 두 사람의 나이를 구하여라.”였다. 신영통현대타운1단지와 반달마을이 있는 생활권에서 접할 수 있는 일상적인 나이 관계를 식으로 바꾸는 문제였지만, 핵심은 숫자를 빠르게 계산하는 데 있지 않고 누구의 나이를 미지수로 정하고, 문장의 조건을 등식으로 정확히 옮기는 것이었다.
첫 식에서 드러난 판단
학생은 공책에 “아들의 나이 = x, 아버지의 나이 = x+28”이라고 썼다. 여기까지는 두 사람의 나이 차가 28살이라는 조건을 잘 반영했다. 이어서 4년 뒤의 나이를 각각 “x+4”, “x+28+4”로 적은 뒤,
아버지는 아들의 2배이므로 x+28+4 = 2x+4
라고 정리했다. 계산하면 x=28이 나오지만, 4년 뒤 아들의 나이는 32살, 아버지는 60살이어서 2배가 아니다. 학생이 계산을 틀린 것이 아니라, 문장의 “아들의 나이의 2배”를 현재 식에 옮기는 순간 판단이 어긋났다. 4년 뒤 아들의 나이 전체를 두 배로 해야 하는데, 학생은 아들의 현재 나이에만 2를 곱하고 4년을 따로 더했다.
조건의 시점을 식에 고정하기
교정할 때 이미 정한 미지수와 나이 차 식은 그대로 두었다. 대신 “4년 뒤”라는 말에 밑줄을 긋고, 두 사람의 나이를 같은 시점에서 다시 적었다.
- 현재 아들: x
- 현재 아버지: x+28
- 4년 뒤 아들: x+4
- 4년 뒤 아버지: x+32
따라서 조건은 x+32=2(x+4)가 된다. 양변을 계산하면 x+32=2x+8, x=24이다. 아들은 24살, 아버지는 52살이고, 4년 뒤에는 각각 28살과 56살이다. 56=2×28이므로 조건에 맞는다. 학생은 “배수 관계가 나오는 시점의 나이를 먼저 완성한 뒤, 그 전체를 배수로 묶어야 한다”고 자신의 말로 적었다.
같은 개념을 다른 형태로 옮겨 보기
다음 문제에서는 숫자만 바꾸지 않고 표현을 바꾸었다. “언니와 동생의 현재 나이의 합은 thirty? ” 같은 혼합 표현은 사용하지 않고, 분수 조건을 포함한 문장으로 제시했다. “현재 언니의 나이는 동생 나이의 3/2배이고, 6년 후에는 언니가 동생보다 6살 많다. 동생의 현재 나이는?”이라는 문제였다.
학생은 먼저 동생을 x살로 두고, 언니를 3x/2살로 나타냈다. 6년 후에도 나이 차는 변하지 않으므로 “언니의 나이 - 동생의 나이 = 6”이라는 등식을 세웠다. 3x/2+6-(x+6)=6에서 x/2=6, x=12를 얻었다. 언니는 18살이며 현재 차이는 6살이다. 이번에는 “몇 년 후”라는 말에 끌려 두 나이에 6을 더한 뒤 배수 관계를 만들지 않고, 실제로 주어진 조건이 나이 차인지 배수인지 구분했다.
표로 바꾼 문제도 이어서 풀었다. 한 표에는 현재 나이와 5년 후 나이가 나란히 제시되고, “5년 후 아버지는 아들의 나이보다 30살 많다”는 설명이 붙어 있었다. 학생은 표의 숫자를 바로 계산하지 않고 아들을 x살, 아버지를 x+30살로 정한 뒤, 5년 후 행에 각각 x+5와 x+35를 기록했다. 두 값의 차가 여전히 30이라는 것을 등식으로 확인했다.
경계 조건까지 스스로 검산한 장면
마지막 독립 문제는 “현재 누나는 동생보다 10살 많다. 2년 전 누나의 나이는 동생 나이의 2배였다. 현재 두 사람의 나이를 구하여라.”였다. 학생은 동생을 x살로 두고 누나를 x+10살로 정했다. 2년 전 나이를 각각 x-2, x+8로 적은 다음 x+8=2(x-2)를 세워 x=12를 구했다. 동생은 12살, 누나는 22살이다.
학생은 힌트 없이 “2년 전이라는 조건이므로 두 사람 모두 2를 빼야 하고, 그 시점의 누나 나이가 동생 나이의 2배이므로 x+8 전체가 2(x-2)와 같아야 한다”고 설명했다. 원래 등식에 대입해 20=2×10을 확인했고, 두 나이가 음수가 되지 않는지도 살폈다. 금암동중1수학과외에서 확인한 최종 기준은 정답 숫자가 아니라, 미지수의 뜻을 먼저 정하고 같은 시점의 나이를 만든 뒤 원래 조건에 대입해 검산하는 과정이었다.