원대동 고등수학과외
원대동 고등수학과외에서는 답을 빠르게 적는 것보다, 부등식의 해를 어떤 근거로 확정했는지 되짚는 과정을 중요하게 다룬다. 금류타운과 서대구센트럴자이 주변에서 계성고등학교나 달성고등학교 학생들을 지도할 때도 절댓값 부등식은 계산보다 검산 순서에서 실수가 드러나는 경우가 있다. 이번 수업에서는 식으로 먼저 검산하겠다고 말한 학생이 정작 수직선에서 해의 범위를 잃어버리는 장면을 살펴봤다.
절댓값 부등식에서 검산 순서가 흔들린 순간
문제는 |x-8|<16이었다. 학생은 문제를 보자마자 “양변을 제곱해서 확인하면 되죠”라고 말했다. 곧바로 어떤 수를 후보로 정한 뒤, 그 수를 원래 식에 넣어 참인지 살피려 했다. 그러나 아직 해집합을 구하지 않은 상태라 검산할 후보 자체가 정해지지 않았다.
이후 수직선에 8과 16을 표시하면서도 중심 8에서 왼쪽과 오른쪽으로 16만큼 이동한다는 구조를 쓰지 않고, 머릿속에서 떠오른 구간을 먼저 선으로 그었다. 그 결과 한쪽 끝을 24가 아닌 16으로 적었고, 열린 점도 표시하지 않았다. 학생의 첫 오류는 단순한 부호 실수가 아니었다. 해를 계산하기 전에 식으로 맞는지부터 확정하려 하면서 수직선이 제공하는 근거를 스스로 없앤 것이었다.
수직선을 계산의 결과가 아닌 근거로 복원하기
교정에서는 먼저 절댓값의 뜻을 말로 바꾸게 했다. |x-8|은 x와 8 사이의 거리이므로, 8에서 16보다 가까운 수를 찾는 문제다. 따라서 수직선에서 8을 중심으로 양쪽에 16을 표시하면 왼쪽 끝은 -8, 오른쪽 끝은 24가 된다. ‘보다 작다’이므로 두 끝점은 포함하지 않는다.
이를 식으로 옮기면 다음과 같다.
-16<x-8<16
세 구간에 각각 8을 더하면 -8<x<24가 된다. 이때 수직선의 열린 점과 양쪽으로 뻗은 선분이 식의 부등호와 대응한다. 학생에게 계산 결과를 수직선에 끼워 맞추게 하지 않고, 수직선에서 읽은 조건을 먼저 식으로 번역하게 하자 빠졌던 근거가 돌아왔다.
조건을 바꾼 문제에서 혼자 적용하기
같은 설명을 반복하지 않기 위해 조건을 바꿔 |x+3|≤7을 제시했다. 이번에는 학생이 -3을 중심에 놓고 양쪽으로 7만큼 이동해 -10과 4를 찾았다. 끝점에 닫힌 점을 표시한 뒤,
-7≤x+3≤7
에서 -10≤x≤4를 얻었다. 처음 문제의 숫자나 위치를 외워 푼 것이 아니라, 중심과 거리, 끝점 포함 여부를 새 조건에 적용한 것이다. 이어서 부등호 방향이 바뀌는 상황도 확인했다. 만약 |x-8|>16이라면 8에서 16보다 먼 범위이므로 x<-8 또는 x>24가 된다. 하나의 구간이 아니라 두 바깥 구간이라는 점을 수직선으로 구분했다.
식과 그래프를 나란히 놓는 최종 검증
검산은 후보 하나를 원식에 대입하는 데서 끝내지 않았다. 원래 문제 |x-8|<16의 해인 -8<x<24에서 안쪽 값 0을 넣으면 |0-8|=8로 조건을 만족한다. 반대로 경계값 -8을 대입하면 |-8-8|=16이 되어 ‘작다’를 만족하지 않으므로 제외된다. 24도 같은 이유로 제외된다.
마지막에는 y=|x-8|의 그래프와 y=16을 함께 그렸다. 꼭짓점은 (8, 0)이고, 두 그래프가 만나는 x좌표는 -8과 24다. 절댓값 그래프가 수평선 아래에 놓이는 구간이 -8과 24 사이이므로 식으로 얻은 해집합과 일치한다. 계산, 수직선, 그래프가 같은 범위를 가리킬 때 답을 확정했다.
자주 묻는 질문
절댓값 부등식은 언제 두 부등식으로 나누나요?
절댓값이 어떤 수보다 작은 경우에는 양쪽 사이에 놓는 형태로, 큰 경우에는 양쪽 바깥에 놓는 형태로 바꾼다.
끝점은 언제 포함하나요?
≤ 또는 ≥이면 포함하고, < 또는 >이면 포함하지 않는다. 수직선에서는 각각 닫힌 점과 열린 점으로 구분한다.
제곱해서 검산해도 되나요?
가능하지만 해를 구하기 전에 임의의 후보를 정하는 방식으로 사용하면 근거가 약해진다. 먼저 해집합을 정한 뒤 원식 대입에 활용하는 편이 안전하다.
그래프 검산은 어떤 오류를 찾나요?
구간의 방향, 끝점 포함 여부, 안쪽과 바깥쪽 범위를 한눈에 비교하는 데 도움이 된다.
해가 비어 있거나 모든 실수가 될 수도 있나요?
절댓값은 항상 0 이상이므로 조건의 기준값이 음수인지에 따라 해가 없거나, 반대로 조건에 따라 전체 실수가 해가 될 수 있다.