대구동천동 중1수학과외

곱셈으로 되돌아가 확인하는 소인수분해

대구동천동과외 수업에서 학생은 소인수분해 단원 마무리 문제를 풀며 답만 빠르게 적는 습관을 점검했다. 대구일중학교와 강북중학교가 포함된 생활권에서 자주 접하는 단원 문제처럼, 수를 여러 소수의 곱으로 나타내고 그 결과가 맞는지 확인하는 과정이 핵심이었다. 화성센트럴파크가 있는 생활권의 학습 사례에서도 같은 유형을 다룰 수 있지만, 이날은 한 문제를 끝까지 추적하며 풀이의 근거를 남기는 데 초점을 맞췄다.

답이 아니라 첫 판단부터 다시 살펴보기

문제는 360을 소인수분해하고, 각 소인수의 지수를 이용해 결과를 확인하는 것이었다. 학생은 공책에 곧바로

360＝2×180＝2×3×60＝2×3×6×10＝2×3×2×3×2×5

라고 쓴 뒤, 오른쪽의 2와 3을 세어 2²×3²×5라고 정리했다. 계산 결과만 보면 자연스러워 보였지만, 풀이가 어긋난 최초의 지점은 마지막에 소인수를 세면서 같은 수가 몇 번 나타났는지 차례대로 확인하지 않은 것이었다. 학생은 앞의 예제에서 보았던 지수 모양을 기억해 2의 개수를 하나 적게 세고 있었다.

교사는 전체 풀이를 지우게 하지 않고, 이미 적은 곱을 그대로 이용해 각 소수를 표시하게 했다. 학생은 곱의 순서를 바꾸어

360＝2×2×2×3×3×5

로 다시 배열하고, 2에는 세 줄, 3에는 두 줄, 5에는 한 줄을 그었다. 따라서

360＝2³×3²×5

가 된다고 정리했다. 여기서 중요한 교정은 새로운 계산법을 추가하는 것이 아니라, 지수를 쓰기 전에 같은 소수가 실제로 몇 번 곱해졌는지 표시하는 일이었다. 이어서 학생은 근거를 한 문장으로 적었다.

2는 세 번, 3은 두 번, 5는 한 번 곱해졌으므로 지수는 각각 3, 2, 1이다.

표현이 달라져도 같은 결과를 찾아내기

다음 문제에서는 소인수분해 결과를 바로 제시하지 않고, “어떤 수를 2와 3, 5의 곱으로 나타내었더니 2가 세 번, 3이 두 번, 5가 한 번 들어 있었다. 이 수를 구하고 소인수분해 결과를 설명하라”고 제시했다. 숫자 360을 처음부터 나누는 문제가 아니라 문장에서 곱셈 구조를 읽어야 하는 문제였다.

학생은 문장 속 표현을 식으로 옮겨

2×2×2×3×3×5＝2³×3²×5

라고 썼다. 이후 곱셈을 묶어 8×9×5＝360으로 계산했다. 이번에는 소인수와 지수의 관계를 거꾸로 사용한 것이다. 지수만 보고 후보를 막연히 고르지 않고, 실제 곱으로 되돌렸을 때 360이 되는지를 확인했기 때문에 답의 근거가 분명했다.

표현을 한 번 더 바꾸어 “2³×3²×5와 2²×3³×5 중 360을 나타내는 것은 어느 것인가?”라고 묻자 학생은 두 식을 나란히 계산했다.

• 2³×3²×5＝8×9×5＝360
• 2²×3³×5＝4×27×5＝540

학생은 두 번째 식을 단순히 오답이라고 표시하지 않고, 2와 3의 지수가 바뀌면서 원래 수가 달라졌다고 설명했다. 이는 소인수분해 결과를 다른 곱셈 형태로 바꾸어도 원래 수와 일치해야 한다는 조건을 적용한 장면이었다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

수업 끝부분에는 540을 소인수분해하되 중간 풀이를 가리고, 검산 과정까지 혼자 적게 했다. 학생은 먼저 540을 나누어

540＝2×270＝2×2×135＝2×2×3×45＝2×2×3×3×15＝2²×3³×5

로 정리했다. 이번에는 지수를 적기 전 2, 2와 3, 3, 3을 각각 표시했고, “2는 두 번, 3은 세 번, 5는 한 번”이라고 설명했다.

마지막 검산에서 학생은 지수 표현을 다시 곱셈으로 바꾸었다.

2²×3³×5＝4×27×5＝108×5＝540

처음 조건의 수와 같으므로 소인수분해 결과가 맞다고 스스로 결론 내렸다. 이어 2³×3²×5처럼 지수만 바꾼 식은 360이 되어 540의 결과가 될 수 없다고 비교했다. 대구동천동중1수학과외에서도 이처럼 답을 외우는 대신, 소인수를 실제로 세고 곱으로 되돌려 원래 수와 대조하는 과정을 반복하면 인수와 지수 문제를 새로운 표현으로 만나도 같은 개념으로 풀이할 수 있다.